Newton-Pepys Problem

모든 면이 확률이 동일한 주사위를 던졌을 때, 어떤 경우가 가장 발생할 확률이 높은가?

Assumption:

적어도 ' $N$ '개가 나오는 경우이므로, 그 확률은 '6'이 나오지 않는 합사건들의 여집합의 확률이다. 동치로는 '6'이 한번도 나오지 않을 사건 여집합의 확률이다.

Solve

(1) 6개의 주사위 중에서 적어도 한 개가 ‘6’이 나온 경우:

P (A) = 1 - (\frac{5}{6})^{6} \approx 0.665

6이 아닐 확률 $\frac{5}{6}$ 이고, 각 주사위를 던지는 사건은 independent하므로 Muliplication Rule이 적용된다. 그리고 여집합이므로, 1에서 뺀다.

(2) 12개의 주사위 중에서 적어도 두 개가 ‘6’이 나온 경우:

'6'이 하나도 나오지 않을 확률: $(\frac{5}{6})^{12}$
'6'이 단 하나만 나올 확률: $12 \times (\frac{1}{6}) \times (\frac{5}{6})^{11}$ ⇒ '6'이 한번만 나타나고, 그 외 나머지 11번은 '6'이 나타나지 않을 확률. 이 때, '6'은 어떤 주사위에서도 나올 수 있으니 그 경우의 수는 12개이므로 곱해준다.

P (B) = 1 - ((\frac{5}{6})^{12} + 12 \times (\frac{1}{6}) \times (\frac{5}{6})^{11}) \approx 0.619

(3) 18개의 주사위 중에서 적어도 세 개가 ‘6’이 나온 경우:
일반화 하면 다음과 같다.

k = 0 \sum 2 (k N) (\frac{1}{6})^{k} (\frac{5}{6})^{N - k}

여기서는 $N = 18, k = 3$ 이 된다.

결과적으로는 (1)의 확률이 가장 높다.